Tutorat Maths – 5 – Troisième cours : Les systèmes et la substitution – Site CAS Pierre-Ange Delbary-Rouillé

Troisième cours : Les systèmes et la substitution

Ce mardi 13 février 2024 je vais donner mon troisième cours de mathématiques à Elias : cela va porter sur les systèmes d’équations.

Pour commencer le cours, je lui ai expliqué et défini ce qu’était un système et je le lui ai démontré par deux démonstrations différentes que je vais présenter. Un système d’équations est un ensemble d’équations, utilisant les mêmes variables ou inconnues ; une solution est l’affectation d’une valeur à chacune de ces variables, de telle façon que toutes les équations du système soient satisfaites simultanément.

De fait, voici ci-dessous la première démonstration d’une résolution d’un système d’équation :

Prenons le système :

$\begin{cases} $ 2x + 3y = 4 $ \\ $ 3x + 2y = 8 $ \end{cases}$

On va dans un premier temps « définir » $x$ en fonction de $y$ dans la première équation système :

$\begin{cases} 2x = 4 - 3y \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$

d’où

$\begin{cases} x = \dfrac{4 - 3y}{2} \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$

c’est à dire

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$

Puis nous allons remplacer x dans la seconde équation du système par ce qui a été trouvé plus haut dans la première équation :

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ 3*(2 - 1{,}5y) + 2y = 8 \end{cases}$

En développant, nous allons obtenir :

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ 6 - 4{,}5y) + 2y = 8 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ 6 - 2{,}5y = 8 \end{cases}$

Puis il va maintenant falloir résoudre la seconde équation :

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ \text{-}2{,}5y = 8 - 6 \end{cases}$

c’est à dire :

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ \text{-}2{,}5y = 2 \end{cases}$

d’où

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5y \\ y = \dfrac{2}{\text{-}2{,}5} = \dfrac{\text{-}2}{2{,}5} = \text{-}0{,}8 \end{cases}$

Une fois que nous avons trouvé $y$ , il faut maintenant le remplacer dans la première équation afin de trouver $x$ :

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}5*(\text{-}0{,}8) \\ y = \text{-}0{,}8 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 2 - 1{,}2 = 3{,}2 \\ y = \text{-}0{,}8 \end{cases}$

soit :

$\begin{cases} x = 3{,}2 \\ y = \text{-}0{,}8 \end{cases}$

Ainsi, le système d’équation est défini par le couple $(3{,}2 ; \text{-}0{,}8)$

Troisième cours : Les systèmes et la substitution

Troisième cours : Les systèmes et la substitution